Rozptyl podruhé
V popisu výběrového rozptylu chybí důkaz nebo jakékoli vysvětlení, proč je zavedení výběrového rozptylu vlastně potřeba a proč vzorec na rozptyl nelze použít pro nestranný odhad. Tomu se budeme věnovat nyní.
Nejprve si odvodíme takzvaný výpočetní tvar pro rozptyl. Víme, že populační rozptyl se spočte pomocí vztahu
\( \sigma^2_X = \mathrm{E} \left[ X - \mathrm{E} \left(X \right) \right]^2 \, .\)
Pro výpočet hodnoty rozptylu pomocí kalkulačky je tento vzorec poměrně nepraktický, protože pro každou hodnotu souboru je potřeba zadat rozdíl mezi danou hodnotou a střední hodnotou. Můžeme ale provést následující úpravy:
$ \begin{aligned}
\sigma^2_X &= \mathrm{E} \left[ X - \mathrm{E} \left(X \right) \right]^2 \
&= \mathrm{E} \left[ X^2 - 2 X \cdot \mathrm{E} \left(X \right) + \mathrm{E} \left(X \right) \right] \
&= \mathrm{E} \left( X^2 \right) - \mathrm{E} \left[ 2 X \cdot \mathrm{E} \left(X \right) \right] + \left[ \mathrm{E} \left(X \right) \right]^2 \
&= \mathrm{E} \left( X^2 \right) - 2 \left[ \mathrm{E} \left(X \right) \right]^2 + \left[ \mathrm{E} \left(X \right) \right]^2 \
&= \mathrm{E} \left( X^2 \right) - \left[ \mathrm{E} \left(X \right) \right]^2
\end{aligned}\, . $
Výsledný výpočetní tvar pro rozptyl má tvar
\( \sigma^2_X = \mathrm{E} \left( X^2 \right) - \left[ \mathrm{E} \left(X \right) \right]^2 = \mathrm{E} \left( X^2 \right) - \mu_X^2 \, . \)
Stačí tedy vypočítat součet druhých mocnin hodnot souboru a odečíst od něj druhou mocninu součtu hodnot, což rychlost výpočtu podstatně sníží. Tento vztah ještě využijeme níže.
Nyní se ale vraťme k výběrovému rozptylu. Jestliže máme k dispozici pouze náhodný výběr z nějakého souboru (a nikoli všechny hodnoty souboru), zpravidla nebudeme znát střední hodnotu základního souboru. Tuto střední hodnotu musíme odhadnout pomocí aritmetického průměru. Dokažme si nejprve, že aritmetický průměr je nezkresleným odhadem střední hodnoty, tj. určíme si střední hodnotu aritmetického průměru:
\( \mathrm{E} \left( \bar{X} \right) = \mathrm{E} \left( \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_i \right) = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n \mathrm{E} \left( x_i \right) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot \mu = \mu \, .\)
Využíváme dvou známých vlastností střední hodnoty. Při násobení náhodné veličiny konstantou \( c \in \mathbb{R} \) platí, že
\( \mathrm{E} \left( c \cdot X \right) = c \cdot \mathrm{E} \left( X \right) \, . \)
A dále střední hodnota součtu náhodných veličin se rovná součtu středních hodnot náhodných veličin:
\( \mathrm{E} \left( X + Y \right) = \mathrm{E} \left( X \right) + \mathrm{E} \left( Y \right) \, . \)
Střední hodnota aritmetického průměru je tedy skutečně střední hodnotou náhodného výběru, tím pádem je dokázáno, že takový odhad je nezkreslený. Vraťme se nyní ke vzorci pro populační rozptyl:
\( \sigma^2_X = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} \left[ x_i - \mathrm{E} \left(X \right) \right]^2 \, .\)
Namísto střední hodnoty nyní do vzorce dosadíme aritmetický průměr. Takto upravenou statistiku si označíme jako \( \left(s^{'} \right)^2_X \):
\( \left(s^{'} \right)^2_X = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} \left( x_i - \bar{X} \right)^2 \, . \)
Nyní použijeme známý vzorec \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) a provedeme několik jednoduchých úprav.
$ \begin{aligned}
\left(s^{'} \right)^2X &= \frac{1}{n} \sum\limits{i=1}^{n} \left( xi^2 - 2 xi \bar{X} + \bar{X}^2 \right) \
&= \frac{1}{n} \sum\limits{i=1}^{n} xi^2 - 2 \bar{X} \frac{\sum\limits{i=1}^{n}xi}{n} + \frac{n \cdot \bar{X}^2}{n} \
&= \frac{1}{n} \sum\limits{i=1}^{n} xi^2 - 2 \bar{X} \cdot \bar{X} + \bar{X}^2 \
&= \frac{1}{n} \sum\limits{i=1}^{n} xi^2 - \bar{X}^2 \
&= \frac{1}{n} \sum\limits{i=1}^{n} xi^2 - \left( \frac{1}{n} \sum\limits{i=1}^{n} xi \right)^2
\end{aligned}\, . $
V případě druhého sčítance na posledním řádku provádíme součet vzájemných násobků hodnot v náhodném výběru. Výraz lze zapsat též jako
\( \frac{1}{n^2} \left( \sum\limits_{i=1}^{n} x_i \right) \left( \sum\limits_{i=1}^{n} x_i \right) = \frac{1}{n^2} \left( \sum\limits_{i=1}^{n} x_i^2 + \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} x_i x_j \right) \, ,\)
protože rozlišujeme mezi případy, kdy jsou mezi sebou násobeny dva různé náhodné výběry, a kdy je násobena tatáž realizace náhodného výběru. Tím jsme získali upravený vzorec pro statistiku \( \left(s^{'} \right)^2_X \):
\( \left(s^{'} \right)^2_X = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} x_i^2 - \frac{1}{n^2} \left( \sum\limits_{i=1}^{n} x_i^2 + \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} x_i x_j \right) \, .\)
Abychom si ukázali, jak je statistika \( \left(s^{'} \right)^2_X \) zkresleným odhadem rozptylu, určíme si její střední hodnotu:
$ \begin{aligned}
\mathrm{E} \left[ \left( s^{'} \right)^2X \right] &= \mathrm{E} \left[ \frac{1}{n} \sum\limits{i=1}^{n} xi^2 - \frac{1}{n^2} \left( \sum\limits{i=1}^{n} xi^2 + \sum\limits{i=1}^{n} \sum\limits{j=1}^{n} xi x_j \right) \right] \
&= \frac{1}{n} \sum\limits{i=1}^{n} \mathrm{E} \left( xi^2 \right) - \frac{1}{n^2} \left[ \sum\limits{i=1}^{n} \mathrm{E} \left( xi^2 \right) + \sum\limits{\substack{ i=1 \ i \neq j}}^{n} \sum\limits{j=1}^{n} \mathrm{E} \left( xi xj \right) \right]
\end{aligned}$
Uvažujeme, že jednotlivé realizace náhodného výběru jsou vzájemně nezávislé, tj. hodnoty \( x_i \) a \( x_j\) jsou pro \( i \neq j \) nezávislé. V tom případě pak platí vztah
\( \mathrm{E} \left( x_i x_j \right) = \mathrm{E} \left( x_i \right) \mathrm{E} \left( x_j \right) \, .\)
Protože se ale v obou případech jedná o náhodný výběr ze stejného souboru se střední hodnotou \( \mu\), platí dokonce
\( \mathrm{E} \left( x_i x_j \right) = \mathrm{E} \left( x_i \right) \mathrm{E} \left( x_j \right) = \mu \cdot \mu = \mu^2 \, .\)
Dále máme v rovnici výraz \( \mathrm{E} \left( x_i^2 \right) \). Upravíme-li si rovnici pro výpočetní tvar rozptylu, kterou jsme odvodili výše, zjistíme, že
\( \mathrm{E} \left( X^2 \right) = \sigma^2_X + \mu_X^2 \, . \)
Dosaďme tedy za oba výrazy a pokračuje v odvození
$ \begin{aligned}
\mathrm{E} \left[ \left( s^{'} \right)^2_X \right] &=
\frac{1}{n} \sum\limits{i=1}^{n} \mathrm{E} \left( xi^2 \right) - \frac{1}{n^2} \left[ \sum\limits{i=1}^{n} \mathrm{E} \left( xi^2 \right) + \sum\limits{\substack{ i=1 \ i \neq j}}^{n} \sum\limits{j=1}^{n} \mathrm{E} \left( xi xj \right) \right] \
&=
\frac{1}{n} \sum\limits{i=1}^{n} \left( \sigma^2X + \muX^2 \right) - \frac{1}{n^2} \sum\limits{i=1}^{n} \left( \sigma^2X + \muX^2 \right) + \sum\limits{\substack{ i=1 \ i \neq j}}^{n} \sum\limits{j=1}^{n} \mu^2 \
&= \left( \sigma^2X + \muX^2 \right) - \frac{n}{n^2} \left( \sigma^2X + \muX^2 \right) -\frac{(n^2 - n)}{n^2} \mu^2 \
&= \sigma^2X \left( 1 - \frac{n}{n^2} \right) + \muX^2 \left[ 1 - \frac{n}{n^2} + \frac{(n^2 - n)}{n^2} \right] \
&= \sigma^2X \frac{n \left( n - 1 \right) }{n^2} + \muX^2 \frac{n^2 - n - n^2 + n}{n^2}\
&= \sigma^2_X \frac{ n - 1}{n}
\end{aligned}$
Vidíme tedy, že střední hodnota statistiky \( \left(s^{'} \right)^2_X \) je
\( \left[ \left( s^{'} \right)^2_X \right] = \sigma^2_X \frac{ n - 1}{n} \, . \)
Abychom tedy získali nezkreslený odhad rozptylu, museli bychom statistiku \( \left(s^{'} \right)^2_X \) násobit výrazem \( \frac{n}{n -1} \). Na základě této myšlenky je pak odvozen vzorec pro výběrový rozptyl. Výraz \( \frac{n}{n -1}\) je někdy nazýván jako Besselova korekce. Výraz \( \frac{n}{n -1}\) konverguje k 1, pro velmi velké náhodné výběry je rozdíl mezi statistikami zanedbatelný. Protože střední hodnota statistiky \( \left(s^{'} \right)^2_X \) konverguje k hodnotě rozptylu, je asymptoticky nestranným odhadem rozptylu.