Welchův t-test

Welchův test používáme pro soubory, jejichž pozorování nejsou spárována a nemůžeme u nich předpokládat shodný rozptyl. V některých učebnicích statistiky je doporučeno začít s ověřením hypotézy o shodě rozptylů pomocí Fischerova testu a dle výsledku poté zvolit variantu t-testu. Tento postup však není korektní.

Abychom si ještě jednou ukázali odlišnost Welchova testu, vyjdeme ze zadání z předchozích dvou článku: Máme data o průměrném počtu vyrobených výrobků pracovníky ve dvou různých závodech, přičemž v jednom ze závodů jsou testovány nové výrobní procesy. Vedení společnosti potřebuje ověřit, zda nové výrobní postupy zvýšily produktivitu práce. Ověřte na \( \alpha = 5 % \) hypotézu, že v závodě s novými výrobními postupy vyrobí pracovníci v průměru více výrobků, než v závodě s původními postupy, přičemž předpokládáme, že rozptyly průměrného počtu výrobků se mohou lišit.

Opět zavedeme značení: \( X_1 \) obsahuje pozorování ze závodu se starými postupy a soubor \( X_2 \) pozorování ze závodu s upravenými postupy. Příslušné střední hodnoty pak označíme \( \mu_{X_1} \) a \( \mu_{X_2} \). Nyní můžeme formulovat nulovou a alternativní hypotézu:

• Nulová hypotéza: Střední hodnota obou souborů je stejná. (\( H_0: \mu_{X_1} = \mu_{X_2} \))
• Alternativní hypotéza: Střední hodnota prvního souboru je nižší. (\( H_1: \mu_{X_1} < \mu_{X_2} \))

Statistiku testu vypočteme dle vzorce

\( T = \frac{\bar{X_1} - \bar{X_2}}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}} \, , \)

kde \( \bar{X_1} \) a \( \bar{X_2} \) značí průměry, \( s_1^2 \) a \( s_2^2 \) výběrové rozptyly a \( n_1 \) a \( n_2 \) počty pozorování. Statistika má opět Studentovo (t) rozdělení. Poměrně složitý je tentokrát určení počtů stupňů volnosti, proto se ručnímu výpočtu vyhneme a provedeme výpočet pouze pomocí Analýzy dat a funkce T.TEST.

Soubor s daty i výpočty si můžete stáhnout zde.

Výpočet pomocí doplňku Analýza dat

V Analýze dat tentokrát volíme možnost Dvouvýběrový t-test s nerovností rozptylů.

Do polí 1. soubor a 2. soubor vybereme oblasti s daty. Vybereme-li oblasti včetně záhlaví, zaškrtneme pole Popisky. Dále označíme Výstupní oblast a stiskneme tlačítko OK.

Na obrázku níže vidíme výsledky.

Protože provádíme levostranný test, zajímají nás označené řádky. Hodnota statistiky je tedy \( T = -0{,}9650 \). Kritický obor se nachází vlevo, proto vezmeme hranici z řádku t krit (1) a přidáme k ní tlačítko minus. Kritický obor tedy leží v intervalu \( W = \left( - \infty, -1{,}7109 \right\rangle \). P-hodnota testu je \( 0{,}1721 \). P-hodnota skutečně odpovídá naší variantě testu. Protože p-hodnota je vyšší než hladina významnosti, nezamítáme \( H_0 \).

Poznámka: Statistika testu je totiž záporná a tím pádem musí být p-hodnota menší než \( 0{,}05\).

Výpočet pomocí funkce T.TEST

Funkce T.TEST vrací p-hodnotu testu. Prvními dvěma parametry jsou soubory s daty. Třetím parametrem je varianta testu (oboustranný nebo jednostranný), zadáváme tedy 1. Posledním parametrem volíme, zda se jedná o párový t-test (1), Studentův t-test (2) nebo Welchův test (3).

=T.TEST(A2:A21,B2:B18,1,3)

Pro naše data vrací funkce hodnotu \( 0{,}1721 \), na základě toho bychom tedy nezamítli \( H_0 \).

Obecná funkce pro levostranný test

Funkce T.TEST funguje na podobném principu jako výpočet p-hodnoty u Analýzy dat, tj. vrací menší z možných dvou p-hodnot. Teoreticky by se mohlo stát, že by hodnota statistiky byla vyšší než 0 a tím pádem by p-hodnota testu byla vyšší 0,5. Funkce T.TEST však vrací vždy p-hodnotu menší než 0,5, tj. vracela by p-hodnotu pro pravostranný test. Rozhodnutí můžeme opět provést na základě hodnoty statistiky a pomocí funkce KDYŽ:

=KDYŽ(E8<0,T.TEST(A2:A21,B2:B18,1,3),1-T.TEST(A2:A21,B2:B18,1,3))

Samotný vzorec pro výpočet statistiky je

=(E3-F3)/ODMOCNINA(E4/E2+F4/F2)